Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficients

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Définitions

Soit \(d\) une droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.

• Le coefficient \(m\) est appelé la pente (ou le coefficient directeur) de la droite \(d\).
  
• Le coefficient \(p\) est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite \(d\).
  

Remarque

Soit \(d\) une droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Si \(x=0\) alors \(y=p\). Le point \(\text M(0;p)\) appartient donc à la droite \(d\).
Il appartient aussi à l'axe des ordonnées.
\(p\) est donc l'ordonnée du point d'intersection de \(d\) avec l'axe des ordonnées. Ceci explique le nom donné au coefficient \(p\) !

Exemples

• L'ordonnée à l'origine de la droite d'équation \(\color{green}{y=2x+3}\) est \(\color{green} 3\).
  
• L'ordonnée à l'origine de la droite d'équation \(\color{red}{y=-x-2}\) est \(\color{red}{-2}\).
  

Propriété

Soit \(d\) une droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Alors \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ m\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\). Ceci explique le nom donné au coefficient \(m\) !

Démonstration

Soit \(d\) une droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Alors \(mx-y+p=0\) est une équation cartésienne de la droite \(d\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\).

Remarque

Soit \(d\) la droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Si \(m=0\), alors la droite a pour équation \(y=p\) ; elle est parallèle à l'axe des abscisses.

Exemples

• Le coefficient directeur de la droite \(\color{green}{d_1}\) est \(\color{green}{2}\).
• Le coefficient directeur de la droite \(\color{red}{d_2}\) est \(\color{red}{-1}\).
• La droite \(\color{purple}{d_3}\) est parallèle à l'axe des abscisses : son coefficient directeur est nul.